计算空间物体包围球的两种算法实现_charlee44的博客

1. 概述

在进行二维空间几何运算的之前，往往会用包围盒进行快速碰撞检测，从而筛掉一些无法碰撞到的可能。而在三维中，比较常用的就是包围球了。当然，如何计算包围球是一个问题。

2. 详论

2.1. naive算法

一个最简单的思路就是，计算空间顶点在X、Y、Z方向上的最大值和最小值，那么就可以得到8个顶点组成的包围盒。取包围球中心为包围盒中心点，而包围球半径有的人认为可以取中心点到八个顶点的最大距离——这样其实并不严密。最好还是计算中心点到所有顶点距离的最大值：

void BoundingSphere::GetBoundingSphereNative(const std::vector<Vec3d>& pointList)
{if (pointList.empty()){return;}Vec3d minPoint(DBL_MAX, DBL_MAX, DBL_MAX);Vec3d maxPoint(-DBL_MAX, -DBL_MAX, -DBL_MAX);size_t vertexCount = pointList.size();for (size_t vi = 0; vi < vertexCount; vi++){if (minPoint.x() > pointList[vi].x()){minPoint.x() = pointList[vi].x();}if (minPoint.y() > pointList[vi].y()){minPoint.y() = pointList[vi].y();}if (minPoint.z() > pointList[vi].z()){minPoint.z() = pointList[vi].z();}if (maxPoint.x() < pointList[vi].x()){maxPoint.x() = pointList[vi].x();}if (maxPoint.y() < pointList[vi].y()){maxPoint.y() = pointList[vi].y();}if (maxPoint.z() < pointList[vi].z()){maxPoint.z() = pointList[vi].z();}}Vec3d naiveCenter = (maxPoint + minPoint) / 2;double naiveRadius = 0;for (size_t vi = 0; vi < vertexCount; vi++){naiveRadius = std::max(naiveRadius, (pointList[vi] - naiveCenter).length());}data = { naiveCenter.x(), naiveCenter.y(), naiveCenter.z(), naiveRadius };
}

这个算法的思路比较简单，所以称之为naive算法。

2.2. ritter算法

另外一种算法是一个名为ritter提出来的，所以称为ritter算法。

首先计算出X方向上距离最远的两个点，Y方向上距离最远的两个点以及Z方向上距离最远的两个点。以这三个距离最远的范围作为初始直径，这三个距离的中心点作为初始球心。

然后依次遍历所有点，判断点是否在这个包围球内。如果不在，则更新包围球。如下图所示：

如果点P在我们的之前得到的包围球之外，那么延长点P与球心O的直线与球相较于T点，很显然，新的直径应该是点T与点P的一半：

R c u r r e n t = ∣ P T → ∣ 2 = ∣ O P → ∣ + ∣ O T → ∣ 2 R_{current} = \frac{|\overrightarrow{PT}|}{2} = \frac{|\overrightarrow{OP}| + |\overrightarrow{OT}|}{2} Rcurrent​=2∣PT ∣​=2∣OP ∣+∣OT ∣​

令点T与点P的中心点为S，也就是新的球心位置。关键就是求向量 O S → \overrightarrow{OS} OS ，从而将球心O移动到新的球心S。

显然，向量 O S → \overrightarrow{OS} OS 的距离还是很好求的，只新的包围球半径与之前包围球的半径之差：
∣ O S → ∣ = R c u r r e n t − R p r e v i o u s |\overrightarrow{OS}| = R_{current} - R_{previous} ∣OS ∣=Rcurrent​−Rprevious​

而向量 O P → \overrightarrow{OP} OP 是已知的，根据向量关系，可求得：
O S → = ∣ O S → ∣ ∣ O P → ∣ O P → \overrightarrow{OS} = \frac{|\overrightarrow{OS}|}{|\overrightarrow{OP}|}\overrightarrow{OP} OS =∣OP ∣∣OS ∣​OP

最后将之前的球心O移动向量 O S → \overrightarrow{OS} OS ，就是新的包围球的球心位置了。

具体的算法代码实现：

void BoundingSphere::GetBoundingSphereRitter(const std::vector<Vec3d>& pointList)
{//Vec3d minPoint(DBL_MAX, DBL_MAX, DBL_MAX);Vec3d maxPoint(-DBL_MAX, -DBL_MAX, -DBL_MAX);size_t minX = 0, minY = 0, minZ = 0;size_t maxX = 0, maxY = 0, maxZ = 0;size_t vertexCount = pointList.size();for (size_t vi = 0; vi < vertexCount; vi++){if (minPoint.x() > pointList[vi].x()){minPoint.x() = pointList[vi].x();minX = vi;}if (minPoint.y() > pointList[vi].y()){minPoint.y() = pointList[vi].y();minY = vi;}if (minPoint.z() > pointList[vi].z()){minPoint.z() = pointList[vi].z();minZ = vi;}if (maxPoint.x() < pointList[vi].x()){maxPoint.x() = pointList[vi].x();maxX = vi;}if (maxPoint.y() < pointList[vi].y()){maxPoint.y() = pointList[vi].y();maxY = vi;}if (maxPoint.z() < pointList[vi].z()){maxPoint.z() = pointList[vi].z();maxZ = vi;}}//double maxLength2 = (pointList[maxX] - pointList[minX]).length2();Vec3d min = pointList[minX];Vec3d max = pointList[maxX];{double yMaxLength2 = (pointList[maxY] - pointList[minY]).length2();if (maxLength2 < yMaxLength2){maxLength2 = yMaxLength2;min = pointList[minY];max = pointList[maxY];}double zMaxLength2 = (pointList[maxZ] - pointList[minZ]).length2();if (maxLength2 < zMaxLength2){maxLength2 = zMaxLength2;min = pointList[minZ];max = pointList[maxZ];}}//Vec3d ritterCenter = (min + max) / 2;double ritterRadius = sqrt(maxLength2) / 2;for (size_t i = 0; i < vertexCount; i++){Vec3d d = pointList[i] - ritterCenter;double dist2 = d.length2();if (dist2 > ritterRadius * ritterRadius){double dist = sqrt(dist2);double newRadious = (dist + ritterRadius) * 0.5;double k = (newRadious - ritterRadius) / dist;ritterRadius = newRadious;Vec3d temp = d * k;ritterCenter = ritterCenter + temp;}}data = { ritterCenter.x(), ritterCenter.y(), ritterCenter.z(), ritterRadius };
}

2.3. 其他

理论上来说，ritter算法的实现要优于naive算法，能够得到更加贴合的包围球。当然理论只是理论，具体的实现还要看最终的效果。根据文献2中所说，经过Cesium的比对测试，19%的情况下，ritter算法的效果比naive算法差；11%的情况下，ritter算法的效果会比naive算法好。所以在Cesium中，包围球的实现是把两者都实现了一遍，然后取半径较小的结果。

3. 参考

1. 3D空间包围球(Bounding Sphere)的求法
2. Cesium原理篇：3最长的一帧之地形(2：高度图)

本文转自 https://blog.csdn.net/charlee44/article/details/127044893，如有侵权，请联系删除。